那覇ルールの逆転可能性についてのお話

こんにちは，☆ありゅ☆です．
Twitterで那覇ルールについての話が（那覇さんと他の方がツイッタで会話している流れで）おもむろに飛んできたので考えました．

那覇ルールって何？って方は　こちら​​​​​　​​の記事と解説を参照．ルールと一緒にこの記事の結論も書いてます．

この記事では逆転できなくなる状況について一応解説付きで書いとこうかなと思いました．


別にしゃしゃり出てわざわざ偉そうに解説するなんてことしなくても良かったのですが，
教科書で知りたい内容が演習問題になっていて更に解答には『略』と書いてあった記憶がフラッシュバックしてきたので一応書いておこうと思いました

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このルールで最大のリード数はいくつか？

AさんとBさんが対戦をして，Aさんが那覇ルールで最大リード数を取るためには少なくともセットを取り続ける必要があります．
なので今回はAさんがセットを取り続けるという体で考えます．

　(1セット目のAさんの本数 - 1セット目のBさんの本数)
がAさんの1セット目のリードとなり，Bさんの本数が次のセットの本数になります．

nセット目にAさんがセットを取ったとして，Aさんに追加されるリード数は
　(nセット目のAさんの本数 - nセット目のBさんの本数)
になりますが，長くなるので(An - Bn)とでも書いときましょう．
那覇ルールをN本開始で初めたとして，mセットやってAさんがセットを取り続けて試合が終わった場合，
(A1 - B1) + (A2 - B2) + (A3 - B3) + ... + (Am - Bm)
がAさんのリード数になります．ここで面白いのが，Bさんが勝った分が次のセットの本数になるので，A(n+1) = Bnになります．
（Bさんの取った本数が，そのまま次のセットの勝者の本数になります．）
更に終了条件はBさんが0本でセットを終えたときなので，Bm = 0になります．
つまりAさんのリードは

(A1 - B1) + (A2 - B2) + (A3 - B3) + ... + (Am - Bm)
= (A1 - B1) + (B1 - B2) + (B2 - B3) + ... + (B(m-1) - 0)
= A1

になります．Aさんが1セット目に取る本数は開始時の設定本数なので，
　A1 = N
になります．
つまりAさんがどのような過程を経て那覇ルールを終えたとしても，1試合目の本数，つまり開始時の設定本数までしかリードできません．

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逆転可能性
じゃぁAさんがM本リードしている時にBさんは逆転できる可能性は？
というと，Bさんは終わるまでにM+1本分を取ればいいので，セット時の本数が最低M+1本あるなら逆転できるわけです．
逆に本数がM本なら良くて引き分け，M本未満なら負け確定です．
つまり，Aさんに10000本リードされてても，本数が10001あれば，Bさんがセットを取り続けることができればBさんにも勝機があるわけです．
完結に言うと，セットが終わった時に
　勝ってる人の本数 - 負けてる人の本数 < セットの本数
なら負けてる人にも勝機はあります．
開始早々1セット目にダブルスコアされると逆転不可能になるのはもう話にあがっているので言うまでもなく


ちなみに元記事の29本開始の結果で説明しますと

セット数	A	B	セットの差	トータル
1	21	29	-8	-8
2	21	19	+2	-6
3	10	19	-9	-15
4	9	10	-1	-16
5	9	8	+1	-15
6	8	5	+3	-12
7	2	5	-3	-15
8	0	2	-2	-17
計	80	97	-17	-17

ですが，これは3セット終了時，4セット目は10本先取りなのに対し，BさんはAさんに対して15本リードしているのでこの時点で勝敗は確定している状態です．

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直感的な説明
「わけわかんねーよ簡潔に話せー」って声もあがりそうなので簡潔に説明します
那覇ルールを10本開始で開始した場合
【ケース1】

セット	Aさん	Bさん	そのセットでのAさんのリード
1	10	7	+3
2	7	4	+3
3	4	3	+1
4	3	2	+1
5	2	0	+2
計	26	16	+10

【ケース2】

ラウンド	Aさん	Bさん	そのセットでのAさんのリード
1	10	8	+2
2	8	6	+2
3	6	5	+1
4	5	0	+5
計	29	19	+10

このようにどのような過程を経てAさんが勝ち続けたとしてもリードは10本までしか得られません．
これは何本開始でも同じで，例えば100本開始なら最大100本までしかリードできませんし，1000本開始なら最大1000本までしかリードできません．

つまり，セット開始時に差が10本あるなら，逆転するための本数は最低11本必要になります．





とりあえず「逆転できる可能性考えるの難しそうだなぁ」とか思ってたんですが，思ったより簡潔に考えられたのは良かった．