最初の６手は40067通り（１通りずつすべて画像化しました）

概要

最初の２手は
AAAA,
AAAB,
AABB,
AABC,
ABAA,
ABAB,
ABAC,
ABCC
の８通りです。
※ABCDは仕様により降ってこないため。

じゃあ３手、４手、５手、６手は？

プログラムを書いて全列挙しました！

結果
３手：54 通り（全ツモ譜テキスト版はこちら）
４手：449 通り（全ツモ譜テキスト版はこちら）
５手：4143 通り（全ツモ譜テキスト版はこちら）
６手：40067 通り（全ツモ譜テキスト版はこちら）

画像も作ったので、テキスト版と併せて序盤手順の研究に是非ご利用ください＾＾

たとえば６手のツモ譜「ABCCADBDBCAB」の画像は


こんな感じです。
以下からダウンロードできます（ファイルサイズが大きいので注意）。
※６手の画像は最初の２手でタイプ分けしました。

２手：8 枚（zipファイル,14.1 KB）
３手：54 枚（zipファイル,106 KB）
４手：449 枚（zipファイル,948 KB）
５手：4143 枚（zipファイル,9.18 MB）
６手AAAA：1795 枚（zipファイル,4.14 MB）
６手AAAB：5128 枚（zipファイル,12 MB）
６手AABB：5128 枚（zipファイル,12.2 MB）
６手AABC：5128 枚（zipファイル,12.2 MB）
６手ABAA：5128 枚（zipファイル,12.1 MB）
６手ABAB：2632 枚（zipファイル,5.97 MB）
６手ABAC：10000 枚（zipファイル,23.2 MB）
６手ABCC：5128 枚（zipファイル,12.1 MB）

プログラムのソースファイル等は下記リンク先でダウンロードできます。
https://github.com/tutetuti/puyopuyo_first6



どうやって列挙したか

ぷよの色は４色あるため、色を区別すると１ツモあたり
赤赤、赤青、赤緑、赤黄、
青赤、青青、青緑、青黄、
緑赤、緑青、緑緑、緑黄、
黄赤、黄青、黄緑、黄黄
の１６通りあります。（紫ぷよゴメンね・・・）

確率の話は考えないことにすれば、左右対称である赤青と青赤などは同一視でき、１ツモあたり
赤赤、赤青、赤緑、赤黄、
青赤、青青、青緑、青黄、
緑赤、緑青、緑緑、緑黄、
黄赤、黄青、黄緑、黄黄
の１０通りあります。

しかし、最初の１手はAA,ABの２通りです。
これは、左右対称だけでなく、色の間にも対称性があるためです。
試合開始時点では４色すべての間に対称性があるため、
たとえば、赤赤、青青、緑緑、黄黄は同一視され、AAと表わされます。

１手目がAAだったとき、この対称性はどう変わるでしょうか。
A以外の３色をB,C,Dとすると、B,C,Dの３色の間にはまだ対称性が残っています。
つまり、Aが特別な色となったために、[A]と[B,C,D]の２つのグループに分かれたのです。
すると、２手目のツモ候補は、
グループ[A]から２つ選んだAA、
グループ[B,C,D]から２つ選んだBB,BC、
グループ[A]から１つ、グループ[B,C,D]から１つ選んだAB
の４通りになります。

さらに２手目がBCだったとき、対称性はどう変わるでしょうか。
BとCの間にはまだ対称性が残っていますが、Dは他のどの色とも対称性が無くなりました。
つまり、[A]と[B,C]と[D]の３つのグループに分かれました。
すると、３手目のツモ候補は、
グループ[A]から２つ選んだAA、
グループ[B,C]から２つ選んだBB,BC、
グループ[D]から２つ選んだDD、
グループ[A]から１つ、グループ[B,C]から１つ選んだAB
グループ[A]から１つ、グループ[D]から１つ選んだAD
グループ[B,C]から１つ、グループ[D]から１つ選んだBD
の７通りになります。

このように、色の対称性をグループ管理しながらツモを列挙しました。




先行研究の紹介

冒頭で最初の２手は８通りと言いましたが、ABCDを含めると９通りあります。
ABCDを含めた場合に、一般のｎ手目までのツモが何通りあるのかを計算する公式がlapis-lazuli氏によって発見されています。
（参考：lapis-lazuli, "ぷよぷよのｎツモまでの組み合わせの総数"(pdf), 2008年）
その公式は

(10^n+6×4^n+8+3×2^n)/4!

です。（a^nはaのn乗を表す）


2021/7/24追記

田中夕張氏によって、ツモパターンとその求め方を数学の言葉で記述する試みがなされました。
（参考：田中夕張, "2手目から4手目までのツモパターンとぷよぷよ数学理論、ツモパターンの求め方", 2021年）
lapis-lazuli氏と同じく対称群に着目されています。対称性あるところ群論あり、ということですね。