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最初の6手は40067通り(1通りずつすべて画像化しました)

by
つてつち
つてつち
概要

最初の2手は
AAAA,
AAAB,
AABB,
AABC,
ABAA,
ABAB,
ABAC,
ABCC

8通りです。
※ABCDは仕様により降ってこないため。

じゃあ3手、4手、5手、6手は?

プログラムを書いて全列挙しました!

結果
3手:54 通り(全ツモ譜テキスト版はこちら
4手:449 通り(全ツモ譜テキスト版はこちら
5手:4143 通り(全ツモ譜テキスト版はこちら
6手:40067 通り(全ツモ譜テキスト版はこちら

画像も作ったので、テキスト版と併せて序盤手順の研究に是非ご利用ください^^

たとえば6手のツモ譜「ABCCADBDBCAB」の画像は


こんな感じです。
以下からダウンロードできます(ファイルサイズが大きいので注意)。
※6手の画像は最初の2手でタイプ分けしました。

2手:8 枚(zipファイル,14.1 KB)
3手:54 枚(zipファイル,106 KB)
4手:449 枚(zipファイル,948 KB)
5手:4143 枚(zipファイル,9.18 MB)
6手AAAA:1795 枚(zipファイル,4.14 MB)
6手AAAB:5128 枚(zipファイル,12 MB)
6手AABB:5128 枚(zipファイル,12.2 MB)
6手AABC:5128 枚(zipファイル,12.2 MB)
6手ABAA:5128 枚(zipファイル,12.1 MB)
6手ABAB:2632 枚(zipファイル,5.97 MB)
6手ABAC:10000 枚(zipファイル,23.2 MB)
6手ABCC:5128 枚(zipファイル,12.1 MB)

プログラムのソースファイル等は下記リンク先でダウンロードできます。
https://github.com/tutetuti/puyopuyo_first6



どうやって列挙したか

ぷよの色は4色あるため、色を区別すると1ツモあたり
赤赤、赤青、赤緑、赤黄、
青赤、青青、青緑、青黄、
緑赤、緑青、緑緑、緑黄、
黄赤、黄青、黄緑、黄黄
16通りあります(紫ぷよゴメンね・・・)

確率の話は考えないことにすれば、左右対称である赤青と青赤などは同一視でき、1ツモあたり
赤赤、赤青、赤緑、赤黄、
青赤、青青、青緑、青黄、
緑赤、緑青、緑緑、緑黄、
黄赤、黄青、黄緑、黄黄
10通りあります

しかし、最初の1手はAA,ABの2通りです。
これは、左右対称だけでなく、色の間にも対称性があるためです。
試合開始時点では4色すべての間に対称性があるため、
たとえば、赤赤、青青、緑緑、黄黄は同一視され、AAと表わされます。

1手目がAAだったとき、この対称性はどう変わるでしょうか。
A以外の3色をB,C,Dとすると、B,C,Dの3色の間にはまだ対称性が残っています。
つまり、Aが特別な色となったために、[A]と[B,C,D]の2つのグループに分かれたのです
すると、2手目のツモ候補は、
グループ[A]から2つ選んだAA
グループ[B,C,D]から2つ選んだBB,BC
グループ[A]から1つ、グループ[B,C,D]から1つ選んだAB
の4通りになります。

さらに2手目がBCだったとき、対称性はどう変わるでしょうか。
BとCの間にはまだ対称性が残っていますが、Dは他のどの色とも対称性が無くなりました。
つまり、[A]と[B,C]と[D]の3つのグループに分かれました。
すると、3手目のツモ候補は、
グループ[A]から2つ選んだAA
グループ[B,C]から2つ選んだBB,BC
グループ[D]から2つ選んだDD
グループ[A]から1つ、グループ[B,C]から1つ選んだAB
グループ[A]から1つ、グループ[D]から1つ選んだAD
グループ[B,C]から1つ、グループ[D]から1つ選んだBD
の7通りになります。

このように、色の対称性をグループ管理しながらツモを列挙しました。




先行研究の紹介

冒頭で最初の2手は8通りと言いましたが、ABCDを含めると9通りあります。
ABCDを含めた場合に、一般のn手目までのツモが何通りあるのかを計算する公式がlapis-lazuli氏によって発見されています。
(参考:lapis-lazuli, "ぷよぷよのnツモまでの組み合わせの総数"(pdf), 2008年)
その公式は

(10^n+6×4^n+8+3×2^n)/4!

です。(a^nはaのn乗を表す)
 
更新日時:2018/12/01 17:00
(作成日時:2018/12/01 17:00)
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